Свой первый космический полет Алексей Елисеев совершил 15 января 1969 года в качестве бортинженера космического корабля "Союз-5" совместно с Борисом Волыновым (командир) и Евгением Хруновым (инженер-исследователь). В космосе экипаж провел 1 сутки 23 часа. Впервые в истории космонавты Елисеев и  Хрунов осуществили переход через открытый космос в корабль «Союз-4» (командир – Владимир Шаталов), на котором вернулись 17 января 1969 года на Землю.

За успешное осуществление космического полета и проявленные при этом мужество и героизм 22 января 1969 года Алексею Елисееву было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Во второй раз Алексей Станиславович полетел в космос 13 октября 1969 года в качестве бортинженера космического корабля «Союз-8» вместе с Владимиром Шаталовым (командир) по программе группового полета    3-ех кораблей. Продолжительность полета составила 4 суток 22 часа.

Второй медалью «Золотая Звезда» космонавт был награжден за успешное выполнение полета на КК «Союз-8».

Третий полет в космос А.С. Елисеев выполнил с 23 по 25 апреля 1971 года в качестве бортинженера КК «Союз-10» с В.А. Шаталовым и Н.Н. Рукавишниковым. В ходе полета была осуществлена первая в мире стыковка космического корабля с орбитальной станцией «Салют».

После ухода из отряда космонавтов ЦПК имени Ю.А. Гагарина Алексей Елисеев продолжил космическую деятельность в Центре управления полетами (г. Королёв). С 1975 по 1985 год космонавт работал в должности заместителя генерального конструктора Научно-производственного объединения «Энергия».

Слева направо: Н.Н. Рукавишников, А.С. Елисеев, В.А. Шаталов

Руководство Центра подготовки космонавтов имени Ю.А. Гагарина, летчики-космонавты и сотрудники ЦПК поздравляют дважды Героя Советского Союза, летчика-космонавта СССР Алексея Станиславовича Елисеева с днем рождения. В этот особенный день примите искренние пожелания крепкого здоровья, семейного счастья и долгих лет жизни!