Валерий Фёдорович родился 2 августа 1934 года в подмосковном городе Павловский Посад. Во время учёбы в школе, как и многие его ровесники в то время, Валерий Быковский учился в Московском аэроклубе ДОСААФ. После получения аттестата он выбрал для себя карьеру военного лётчика.

В 1955 году Быковский окончил Качинское Краснознаменное ВАУЛ им. А.Ф. Мясникова Северо-Кавказского ВО.  И с 23 января 1956 года служил лётчиком, а с 23 декабря 1957 года – старшим лётчиком 23 ИАП 17 ИАД.

7 марта 1960 года приказом Главкома ВВС Валерий Фёдорович был зачислен слушателем-космонавтом ЦПК ВВС (1-й набор). 25 января 1961 года - назначен на должность космонавта с присвоением квалификации «космонавт ВВС». Он входил в легендарный первый отряд космонавтов наряду с Юрием Гагариным, Германом Титовым, Андрияном Николаевым, Григорием Нелюбовым, Павлом Поповичем.

С этого времени Валерий Быковский начал проходить интенсивную подготовку к полёту в космос по одновитковой программе.

Первый свой полёт он совершил командиром корабля «Восток-5» с 14 по 19 июня 1963 года (4 суток 23 часа 6 минут). Полёт проходил совместно с полётом корабля «Восток-6», пилотируемого Валентиной Терешковой. За мужество и героизм, проявленные при выполнении этого полёта, пятому космонавту планеты было присвоено звание Героя Советского Союза.

Вторую Золотую Звезду Героя Советского Союза В.Ф. Быковский получил за свой следующий космический полет, который он выполнил с 15 по 23 сентября 1976 года (7 суток 21 час 52 минуты) в качестве командира корабля «Союз-22» совместно с бортинженером В. Аксеновым. В ходе выполнения полёта космонавты проводили биологические эксперименты, тестировали новое навигационное оборудование, отрабатывали новые методики ориентации корабля.

В третий раз Валерий Быковский полетел в космос командиром корабля «Союз-31» и советско-немецкого экипажа (26 августа - 3 сентября 1978 года). Продолжительность полёта - 7 суток 20 часов 49 минут. За это время космонавты провели эксперименты по космической биологии, астрофизики, дистанционному зондированию Земли и в области космической медицины.

Суммарное время пребывания В.Ф. Быковского в космосе составило 20 суток 17 часов 47 минут.

Он был командиром одного из экипажей, которые должны были выполнить экспедиции на Луну с высадкой на неё командира экипажа. Программа полёта была отменена ввиду успешной высадки американцев на Луну на «Аполлоне-11».

Валерий Фёдорович Быковский являлся почётным гражданином городов Калуга, Целиноград, Павловский Посад, Джезказган, Ржев, Бургас, Варна. Дважды Герой Советского Союза был также награждён тремя орденами Ленина, орденами Трудового Красного Знамени и Красной Звезды и другими отечественными и зарубежными медалями и орденами.

В.Ф. Быковский ушёл из жизни 27 марта 2019 года и был похоронен на кладбище деревни Леониха вблизи Звёздного городка.