Свой первый космический полет Алексей Елисеев совершил в качестве бортинженера 15 января 1969 года совместно с Борисом Волыновым (командир экипажа) и Евгением Хруновым (инженер-исследователь) на космическом корабле «Союз-5». Продолжительность полёта составила 1 сутки 23 часа. Впервые в мире А.С. Елисеев и Е.В. Хрунов осуществили переход через открытый космос в корабль «Союз-4» (командир – Владимир Шаталов), на котором и вернулись на Землю.

Во второй раз Алексей Станиславович полетел в космос 13 октября 1969 года на космическом корабле «Союз-8» (командир космического корабля – Владимир Шаталов).

Третий полет в космос А.С. Елисеев совершил с 23 по 25 апреля 1971 года на космическом корабле «Союз-10» вместе с В.А. Шаталовым и Н.Н. Рукавишниковым. Впервые в мире была осуществлена стыковка космического корабля и орбитальной станции «Салют».

Руководство Центра подготовки космонавтов имени Ю. А. Гагарина, летчики-космонавты, весь коллектив ЦПК сердечно поздравляют Дважды Героя Советского Союза, летчика-космонавта СССР Алексея Станиславовича Елисеева с Днем рождения и желают ему крепкого здоровья, счастья и новых свершений!